マンションやアパートの場合なら両隣と真下・真上の部屋・管理人さん位には挨拶に行くといいでしょう。
引越し挨拶の手みやげの相場は500円～2,000円くらいがいいかも知れません。
タオルや石鹸、洗剤などの手軽な品物でしょうかね。
のし紙には名字だけでなくフルネームを書いたほうがいいですね。
留守が多くて挨拶できない近所の人もいるでしょう。
そういう場合、郵便受けに引越しのご挨拶の言葉を書いたカードを入れてけばいいでしょう。
後日お会いできた時に改めてご挨拶します。
引越しが落ち着いたら、職場関係の人や友人、親戚に転居通知のはがきを出しましょう。